线性代数：矩阵与线性方程组
从这个一个博客开始，我们将进行线性代数的复习。由于是用于夏令营以及与推免考核所用，我们一些简单的定义和定理将直接带过
线性代数：矩阵与线性方程组
我们从矩阵开始复习，同时带到线性相关、子空间等概念。
我们先介绍最简单的概念，线性相关与线性无关
线性相关与线性无关
我们定义列向量 {a1, a2, a3, …，an}
线性相关(Linear Dependent)：若是存在不全为 0 的向量 X = {x1, x2, x3, …, xn} 满足 x1a1 + x2a2 + x3a3 + … + xnan = 0， 则称列向量{a1, a2, a3, …，an} 线性相关
线性无关(Linear Independent)： 与上述相反，如果不存在不全为 0 的向量 X = {x1, x2, x3, …, xn}满足条件，则称之为线性无关
随后我们简单回顾矩阵，矩阵的定义从向量导入，如果矩阵有m行和n列，我们就说矩阵的大小为m * n，如果m = n，我们称为方阵（square matrix）
矩阵的计算
这里我们简单介绍矩阵的而一些计算与属性
矩阵和标量相乘，即每个元素和标量相乘
矩阵（向量）和矩阵（向量）相乘， 即按照顺序依次相乘
- 若AB = BA，则称A与B乘法可交换。n阶单位矩阵E与任何n阶矩阵乘法可交换
矩阵的分块乘法
矩阵转置
矩阵共轭: 即矩阵内每个元素取其共轭的结果
矩阵的秩（Rank): 矩阵列向量中最大的线性无关的数目（The maximum number of Linear Independent columns)
矩阵的零化度（Nullity）： 矩阵的列数减去矩阵的秩
矩阵的逆
如果两个方阵A和B的乘积是单位矩阵，AB=I，那么A和B就是互为逆矩阵
矩阵的逆有如下定义：
(A−1)−1 = A
(kA)−1 = k−1A−1
(AT)−1 = (A−1)T
(AB)−1 = B−1A−1
矩阵的逆还有如下的性质（需要牢记）：
对于一个方阵，其可逆判别可用如下任意一条：
矩阵的行列式
具体计算我们带过，我们讨论一下行列式的性质
交换任意两行，行列式取负号
行列式的标量乘法： det(2A) = 2ndet(A)
矩阵乘法的行列式：
如果一个方阵的行列式不为0，那么它是可逆的，反之，如果一个方阵可逆，那么它的行列式不为0
$\bullet A^{-1}=\frac{1}{det(A)}C^T$ 其中C为伴随矩阵，具体如下
$$C= \begin{bmatrix} c_{11} & \cdots & c_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{n1} & \cdots & c_{nn} \end{bmatrix}$$
其中 cij = (−1)i + jdet(Aij) 为代数余子式
初等矩阵
初等矩阵： 对单位矩阵进行一次变换后的矩阵
相关定理（左行右列）：
对A施行初等行变换，其结果等于在A左边乘以相应的初等矩阵；
对A施行初等列变换，其结果等于在A右边乘以相应的初等矩阵
n阶方阵可逆的充要条件是它能表示成一些初等矩阵的乘积
线性方程组
我们借助矩阵带一下线性方程组的相关概念与性质
我们可以用矩阵表达一个线性方程组，即： Ax = b ,其中A为矩阵，x, b分别为对应维度的列向量
解的情况与相容性
线性方程组解 x 的情况有三种：无解、有唯一解、有无穷解
若方程组有解，则称其为 相容（Consistent）； 若是无解，则称之为 不相容（Inconsistent）
线性方程组有解的解释
首先介绍一个概念
- 张成的空间：对于一个向量集 S , 其向量的所有线性组合组成的向量集 V ，称之为 S 张成的空间，记作 Span(S)
因此若 Ax = b 有解，可以解释为：
b 是可以表示为矩阵 A 的列向量的线性组合
b 再矩阵 A 的列向量的所张成的空间里
解的数量与矩阵A的关系
有唯一解：矩阵A的列向量线性无关，即 Rank(A) = n(Nullity(A)=0)
有无穷解：矩阵A的列向量线性相关，即 Rank(A) < n(Nullity(A)>0)
线性方程组求解：高斯消元法（Gaussian Elimination）
首先有线性方程组等价定理：两个线性方程组等价 ⇔ 两个线性方程组有相同的解
高斯消元法：将增广矩阵化简为简约型阶梯形式，进而求解的方法
增广矩阵：将矩阵A与列向量b横向拼接起来，即 [A|b]
简约型阶梯形式： 即呈阶梯状，并且每个阶梯第一位为1，具体如下图：
若是最后化简得结果存在只有最后一列不为0得情况，则线性方程组无解;反之则有解，若是有一行全部为0，则存在无数解。
